FUNCION (DEFINICION, CLASIFICACION Y REPRESENTACION).

FUNCION (DEFINICION, CLASIFICACION Y REPRESENTACION).

Gottfried Leibniz acuñó el término «función» en en siglo XVII.El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII.[1] René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro».

Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.

La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto.

Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numéricos. También se asoció con otros conceptos vinculados como el de relación binaria.

Ø Función en definición

Es una relación entre dos: variables, de forma que a cada valor de la variable independiente, le asocia un único valor de la variable dependiente, que llamaremos imagen de. Decimos que y es función de  y lo representamos por

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo " por < y el " por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

•  Función Periódica:

Una función es periódica cuando la función 'repite' los mismos valores. Dicho matemáticamente: f(x+T) = f(x)

La función sen(x) es periódica (periodo 360º) pues sen(x) = sen (x + 360)

La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos es un problema importante en las Matemáticas, la Física y las Ingenierías, baste citar todos los fenómenos vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc.

ANÁLISIS DE FOURIER DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA

Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,

Donde el periodo P=2

---

/w, y a0, a1, ...ai ... y b1, b2, .... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Toda función periódica de periodo P, se puede transformar en una función periódica de periodo 2

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, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x= at, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2

---

 de x, y la función f(t) convertida en

Definida en el intervalo que va de -

---

 a +

---

. La serie se expresa en la forma más siempre

Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

•Si g(x) es una función par, g(x)=g (-x), los términos bi son nulos

•Si g(x) es impar g(x)=-g (-x), los coeficientes ai son nulos

•Si g(x) es alternada, g(x+

---

)=-g(-x), la serie solamente consta de términos armónicos impares.

Ø Función en clasificación

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son la adiccionsustraccion, multiplicación, pontetacion y radiación.

FUNCIONES EXPLICITAS

En la funciones explicitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

FUNCIONES IMPLICITAS..

No se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución sino que es preciso efectuar operaciones.

FUNCIONES POLINOMICAS.

Vienes definidas por un polinomio.

• Función  sobreyectiva

Sea una función de A en B, f es una función epiyectiva (también llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Ejemplo:

A = {a, e, i, o, u}

B = {1, 3, 5, 7}

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:

F: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

Ejemplo:

• Función Biyectiva:

Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.

Si cada elemento deB es imagen de un solo elemento deA, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA.

Ejemplo:

A = {a,e,i,o,u}

B = {1, 3 , 5 , 7 , 9 }

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:

Si f es biyectiva, entonces su inversa f - 1 es también una función y además biyectiva.

Ejemplo:

• Función Par:

Una función f: R! R es par si se verifica que

“x " R vale f (-x) = f(x)

Si f: R!R es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico respecto del eje vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio tiene que ser un conjunto simétrico respecto al origen)

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x)

Ejemplo: La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x.

La función f(x)=x2 es par ya que f (-x) = (-x)2 =x2

• Función Impar:

Una función f: R! R es impar si se verifica que

“x " R vale f (-x) = -f(x)

Si f: R! R es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (El dominio tiene que ser un conjunto simétrico respecto al origen)

En el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar. Muchas funciones reales no son pares ni impares.

Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f(-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).

• Función Creciente:

Una función es creciente en un intervalo [a, b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

 

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	<	f(x2).
Prevalece la relación <

Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

•  Función Decreciente:

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

x1	<	x2	Se tiene que	f(x1)	>	f(x2).
Cambia la relación de < a >

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 )> f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

 Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo " por < y el " por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

•   Función Periódica:

Una función es periódica cuando la función 'repite' los mismos valores. Dicho matemáticamente: f(x+T) = f(x)

La función sen(x) es periódica (periodo 360º) pues sen(x) = sen (x + 360)

La aproximación de una función periódica mediante una suma de armónicos es un problema importante en las Matemáticas, la Física y las Ingenierías, baste citar todos los fenómenos vibratorios, ondulatorios que son fundamento de la acústica, de las telecomunicaciones, etc.

Ø Función en representación

Representación gráfica de funciones Se llama estudiar una función al conjunto de las tareas encaminadas a determinar los elementos que definen su comportamiento para los diferentes intervalos de valores de su dominio. Crecimiento, concavidad, tendencias asintóticas y otras informaciones relacionadas sirven de ayuda para conocer la conducta de las funciones matemáticas y extraer datos de optimización relevantes para los problemas prácticos. Estudio de una función Para estudiar el comportamiento de una función, se aplica un procedimiento sistemático que comprende los puntos siguientes:

Determinación de su dominio de definición (ver t45). Búsqueda de simetrías y periodicidades (ver t45). Fijación de los puntos de corte con los ejes (ver t45). Cálculo de las asíntotas. Tendencias de crecimiento y decrecimiento, con determinación de los máximos y los mínimos relativos (ver t45). Concavidad, convexidad y puntos de inflexión (ver t45). Análisis del comportamiento de la función en las distintas regiones del plano. Representación gráfica.

Representación de funcionesLas funciones se pueden presentar de distintas maneras:

usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}

Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5      X

4     X 

3    X  

2   X   

1  X    

0 X     

y / x -2 -1 0 1 2 3

Terminología, tradición y conveniosLa noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde su introducción en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción es el estudio del movimiento cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable y parámetro.

Sea  una función. La notación y definición dadas son posteriores a la invención de la teoría de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo se decía anteriormente que x era un elemento de? Diciendo que x era una variable real. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del dominio como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio eran las variables independientes mientras que aquellos del codominio eran las variables dependientes.

Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan funciones de una variable real. ¿Porque "una"? Porque funciones cuyo dominio eran subconjuntos de  o  se llamaban funciones de dos o tres variables (reales) respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidas sobre pares o tríos de números (usualmente considerados como vectores bidimensionales o tridimensionales, respectivamente).

En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Física es usual la siguiente terminología.

Función escalar: Función del tipo

Campo escalar: Función del tipo

Función vectorial: Función del tipo

Campo vectorial: Función del tipo

La notación funcionalEn

Muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función f(x)". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f no está bien definida.

En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales), hay una serie de convenios para simplificar la escritura. La expresión "la función " se debe entender como una abreviación de lo siguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos una relación funciona (a cada x corresponde un único y) es una función cuyo dominio, llamado dominio natural, es el máximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, y cuyo codominio son todos los Reales. En la "función" citada, la aparición del radical nos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.

Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación  para indicar la regla de asignación.

Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la composición de funciones numéricas. Por ejemplo: si  y , podemos considerar a  como la composición de las funciones g y f, a pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición. En efecto, f es una función de  en  cuya imagen es todo . Por su parte, g es una función de los reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagen de f sea un subconjunto del dominio de 'g. Sin embargo, como prácticamente o para efectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como una composición de g con f, suponemos que f está restringido al intervalo.

Definición formal Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular de relación binaria, luego su esta definición está basada en la que se adopte para las relaciones. En el enfoque «extensivo» se identifica una función con su gráfica:

Una función es un conjunto f de pares ordenados tales que no existen dos pares ordenados distintos con la misma primera componente:

El dominio (la imagen) de la función es entonces el conjunto de primeras (segundas) componentes:

En la definición extensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto potencial donde está contenido el recorrido. En algunas áreas de las matemáticas es importante preservar esta distinción, y por tanto se usa una definición distinta:[3]

Una función es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), el dominio, el codominio y el grafo de f, tales que:

1. G (f) ⊂ A × B

2. Todo elemento del dominio tiene imagen: para cada a ∈ A, existe un b ∈ B tal que (a, b) ∈G (f)

3. Esta imagen es única: si (a, b), (a, c) ∈G(f), entonces b = c.

De este modo, puede imponerse que dos funciones con el mismo grafo sean distintas por tener codominio distinto

Una gráfica es una representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o Símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno. La representación gráfica permite establecer valores que no han sido obtenidos experimentalmente, es decir, mediante la interpolación (lectura entre puntos) y la extrapolación (valores fuera del intervalo experimental).

La estadística gráfica es una parte importante y diferenciada de una aplicación de técnicas gráficas, a la descripción e interpretación de datos e inferencias sobre éstos. Forma parte de los programas estadísticos usados con los ordenadores. Autores como Edward R. Tufte han desarrollado nuevas soluciones de análisis gráficos.

Existen diferentes tipos de gráficas, que se pueden clasificar en:

•Numéricas: con imágenes visuales que sirven para representar el comportamiento o la distribución de los datos cuantitativos de una población.

•Lineales: se representan los valores en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. Las gráficas lineales se recomiendan para representar series en el tiempo, y es donde se muestran valores máximos y mínimos; también se utilizan para varias muestras en un diagrama.

•De barras: se usan cuando se pretende resaltar la representación de porcentajes de datos que componen un total. Una gráfica de barras contiene barras verticales que representan valores numéricos, generalmente usando una hoja de cálculo. Las gráficas de barras son una manera de representar frecuencias; las frecuencias están asociadas con categorías. Una gráfica de barras se presenta de dos maneras: horizontal o vertical. El objetivo es poner una barra de largo (alto si es horizontal) igual a la frecuencia. La gráfica de barras sirve para comparar y tener una representación gráfica de la diferencia de frecuencias o de intensidad de la característica numérica de interés.

•Histogramas: Se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la base coinciden con los limites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase que representamos en el eje de las abscisas. La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.

•Circulares: gráficas que nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se desee destacar

Ejemplo de regionalización de una función para el análisis gráfico de su comportamiento.

Las informaciones obtenidas del estudio de una función se pueden complementar con una breve tabla de valores que ayude a fijar exactamente la posición de las diversas ramas de la función. Con ello, su evolución en el plano quedará perfectamente definida, y el trabajo de estudio terminado

2.2 Formas de representación de una función:

                                      Lineal         x

                   Enteros            Cuadrática     x2

                                      Cúbica  x3

Algebraica

                                      Inversa lineal         1/x

                                      Inversa cuadrática     1/x2

    Fraccionarios      Inversa cúbica 1/x3

Irracionales

                                                             Seno          y= sen x

                                                             Coseno     y= cos x

                                                             Tangente   y= tan x

                       Trigonometricas Directas       cotangente  y= ctg x

                                                             secante       y= sec x

                                                             Cosecante   y= csc x

Trascendentes

                                                             Sen-1          y= sen-1 x    

                                                             Cos-1          y= cos-1x     

                                                             Tan-1          y= tan-1 x

                                                             Ctg-1          y= ctg-1 x

                                              Inversas       sec-1          y= sec-1 x

Exponenciales csc-1 y= csc-1 x

                       Logarítmicas           y= In x    ℮x                 

Especiales Valor absoluto y= I x I Identidad Máximo entero